已知△ABC是边长为4的等边三角形，BC在x轴上，点D为BC的中点，点A在第一象限内，AB与y轴的正半轴相交于点E，点B（-1，0），P是AC上的一个动点（P与点A、C不重合）（1）求点A、E的坐标；（2

Question

已知△ABC是边长为4的等边三角形，BC在x轴上，点D为BC的中点，点A在第一象限内，AB与y轴的正半轴相交于点E，点B（-1，0），P是AC上的一个动点（P与点A、C不重合）
（1）求点A、E的坐标；
（2）若y=−(6√(3))/(7)x²+bx+c过点A、E，求抛物线的解析式；
（3）连接PB、PD，设L为△PBD的周长，当L取最小值时，求点P的坐标及L的最小值，并判断此时点P是否在（2）中所求的抛物线上，请充分说明你的判断理由．

Answer 1

（1）连接AD，
∵△ABC是边长为4的等边三角形，又B的坐标为（-1，0），BC在x轴上，A在第一象限，
∴点C在x轴的正半轴上，
∴C的坐标为（3，0），由中点坐标公式，得：D的坐标为（1，0）．
显然AD⊥BC且AD=√(3)BD=2√(3)，
∴A的坐标是（1，2√(3)）．
OE=(1)/(2)AD，得E（0，√(3)）；

（2）因为抛物线y=−(6√(3))/(7)x²+bx+c过点A、E，
由待定系数法得：c=√(3)，b=(13√(3))/(7)，
抛物线的解析式为y=−(6√(3))/(7)x2+(13√(3))/(7)x+√(3)；

（3）大家记得这样一个常识吗？
“牵牛从点A出发，到河边l喝水，再到点B处吃草，走哪条路径最短”即确定l上的点P，
方法是作点A关于l的对称点A'，连接A'B与l的交点P即为所求．
本题中的AC就是“河”，B、D分别为“出发点”和“草地”．
由引例并证明后，得先作点D关于AC的对称点D'，
连接BD'交AC于点P，则PB与PD的和取最小值，
即△PBD的周长L取最小值．
∵D、D′关于直线AC对称，
∴DD′⊥AC，即∠D′DC=30°，
DF=√(3)，DD'=2√(3)，
求得点D'的坐标为（4，√(3)），
直线BD'的解析式为：y＝(√(3))/(5)x+(√(3))/(5)，
直线AC的解析式为：y＝−√(3)x+3√(3)，
求直线BD'与AC的交点可得点P的坐标（(7)/(3)，(2√(3))/(3)）．
此时BD'=√(BG2+D′G2)=√(52+(√(3))2)=2√(7)，
所以△PBD的最小周长L为2√(7)+2，
把点P的坐标代入y=−(6√(3))/(7)x2+(13√(3))/(7)x+√(3)成立，所以此时点P在抛物线上．