四边形ABCD中，E是BC的中点，BC=4，且∠AED=∠B=∠C=60°．（1）如图1，若AD∥BC，求证：△ADE是等边三角形；（2）如图2，若AD不平行于BC，过点E作EM⊥AD于M，求EM的长．

Question

四边形ABCD中，E是BC的中点，BC=4，且∠AED=∠B=∠C=60°．
（1）如图1，若AD∥BC，求证：△ADE是等边三角形；
（2）如图2，若AD不平行于BC，过点E作EM⊥AD于M，求EM的长．

Answer 1

（1）证明：∵AD∥BC，∠B=∠C=60°，
∴AB=CD，
∵E是BC的中点，
∴BE=CE，
在△ABE和△DCE中，

AB=DC

∠B=∠C

BE=CE

，
∴△ABE≌△DCE，
∴AE=DE，
又∵∠AED=60°，
∴△ADE是等边三角形；
（2） 过点E作EN⊥AB于点N，
∵∠AED=60°，
∴∠AEB+∠DEC=120°，
∵∠B=60°，
∴∠BAE+∠AEB=120°，
∴∠BAE=∠DEC，
又∵∠B=∠C=60°，
∴△ABE∽△ECD，
∴(AB)/(EC)=(AE)/(DE)，
∴AB•ED=EC•EA，
∵E是BC的中点，
∴EB=EC，
∴AB•DE=BE•AE，
∴(AB)/(BE)=(AE)/(DE)，
又∵∠AED=∠B=60°，
∴△ABE∽AED，
∴∠BAE=∠DAE，
∵NE⊥AB，EM⊥AD，
∴NE=EM，
∴sin60°=(NE)/(BE)(√(3))/(2)，
∵BE=EC，
∴(EN)/(BC)=(EM)/(BC)=(√(3))/(4)，
∵BC=4，
∴EM=√(3)．