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如图,已知△ABC为等边三角形,CF∥AB,点P为线段AB上任意一点(点P不与A、B重合),过点P作PE∥BC,分别交AC、CF于G、E.(1)四边形PBCE是平行四边形吗?为什么?(2)求证:CP=AE;(3)试
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如图,已知△ABC为等边三角形,CF∥AB,点P为线段AB上任意一点(点P不与A、B重合),过点P作PE∥BC,分别交AC、CF于G、E.
(1)四边形PBCE是平行四边形吗?为什么?
(2)求证:CP=AE;
(3)试探索:当P为AB的中点时,四边形APCE是什么样的特殊四边形?并说明理由.
(1)四边形PBCE是平行四边形吗?为什么?
(2)求证:CP=AE;
(3)试探索:当P为AB的中点时,四边形APCE是什么样的特殊四边形?并说明理由.
▼优质解答
答案和解析
(1)四边形PBCE是平行四边形…(1分)
理由:∵CF∥AB(即CE∥BP),PE∥BC,
∴四边形PBCE是平行四边形…(3分);
(2)证明:(如图1)
∵△ABC是等边三角形,
∴∠B=∠1=60°,BC=CA,
∵CF∥AB,
∴∠2=∠1,
∴∠B=∠2…(4分,
又由(1)知四边形PBCE为平行四边形,
∴PB=EC…(5分),
在△BPC和△CEA中,
PB=EC,∠B=∠2,BC=CA,
∴△BPC≌△CEA…(6分),
∴CP=AE…(7分);
(3)当P为AB的中点时,四边形APCE是矩形(如图2),…(8分)
理由:∵P为AB的中点,
∴AP=BP,
又由(2)证得:BP=CE,
∴AP=CE,
∵CF∥AB,
即EC∥AP,
∴四边形APCE是平行四边形…(10分)
又∵△ABC是等边三角形,P为AB的中点,
∴CP⊥AB(“三线合一”),
∴∠APC=90°…(12分),
∵△ABC是等边三角形,
∴BC=AC,
又∵四边形PBCE是平行四边形,
∴PE=BC,
∴AC=PE,
∴四边形APCE是矩形…(13分).
理由:∵CF∥AB(即CE∥BP),PE∥BC,
∴四边形PBCE是平行四边形…(3分);
(2)证明:(如图1)
∵△ABC是等边三角形,
∴∠B=∠1=60°,BC=CA,
∵CF∥AB,
∴∠2=∠1,
∴∠B=∠2…(4分,
又由(1)知四边形PBCE为平行四边形,
∴PB=EC…(5分),
在△BPC和△CEA中,
PB=EC,∠B=∠2,BC=CA,
∴△BPC≌△CEA…(6分),
∴CP=AE…(7分);
(3)当P为AB的中点时,四边形APCE是矩形(如图2),…(8分)
理由:∵P为AB的中点,
∴AP=BP,
又由(2)证得:BP=CE,
∴AP=CE,
∵CF∥AB,
即EC∥AP,
∴四边形APCE是平行四边形…(10分)
又∵△ABC是等边三角形,P为AB的中点,
∴CP⊥AB(“三线合一”),
∴∠APC=90°…(12分),
∵△ABC是等边三角形,
∴BC=AC,
又∵四边形PBCE是平行四边形,
∴PE=BC,
∴AC=PE,
∴四边形APCE是矩形…(13分).
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