如图，在平面直角坐标系xoy中，直线y=x+3交x轴于A点，交y轴于B点，过A、B两点的抛物线y=-x2+bx+c交x轴于另一点C，点D是抛物线的顶点．（1）求此抛物线的解析式；（2）点P是直线AB上方的抛物

Question

如图，在平面直角坐标系xoy中，直线y=x+3交x轴于A点，交y轴于B点，过A、B两点的抛物线y=-x²+bx+c交x轴于另一点C，点D是抛物线的顶点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）点P是直线AB上方的抛物线上一点，（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线交x轴于点H，交直线AB于点F，作PG⊥AB于点G．求出△PFG的周长最大值；
（3）在抛物线y=ax²+bx+c上是否存在除点D以外的点M，使得△ABM与△ABD的面积相等？若存在，请求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵直线AB：y=x+3与坐标轴交于A（-3，0）、B（0，3），
代入抛物线解析式y=-x²+bx+c中

0＝−9−3b+c

3＝c

，
∴

b＝−2

c＝3

∴抛物线解析式为：y=-x²-2x+3；

（2）∵由题意可知△PFG是等腰直角三角形，
设P（m，-m²-2m+3），
∴F（m，m+3），
∴PF=-m²-2m+3-m-3=-m²-3m，
△PFG周长为：-m²-3m+√(2)（-m²-3m），
=-（√(2)+1）（m+(3)/(2)）²+(9(√(2)+1))/(4)，
∴△PFG周长的最大值为：(9(√(2)+1))/(4)．

（3）点M有三个位置，如图所示的M₁、M₂、M₃，都能使△ABM的面积等于△ABD的面积．
此时DM₁∥AB，M₃M₂∥AB，且与AB距离相等，
∵D（-1，4），
∴E（-1，2）、则N（-1，0）
∵y=x+3中，k=1，
∴直线DM₁解析式为：y=x+5，
直线M₃M₂解析式为：y=x+1，
∴x+5=-x²-2x+3或x+1=-x²-2x+3，
∴x₁=-1，x₂=-2，x₃=(−3+√(17))/(2)，x₄=(−3−√(17))/(2)，
∴M₁（-2，3），M₂（(−3+√(17))/(2)，(−1+√(17))/(2)），M₃（(−3−√(17))/(2)，(−1−√(17))/(2)）．