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如图,在平面直角坐标系xOy中,点C的坐标为(4,0),一次函数y=43x+3的图象分别交x轴,y轴于点A,点B.(1)若点D是直线AB在第一象限内的点,且BD=BC,试求出点D的坐标.(2)在(1)的条
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如图,在平面直角坐标系xOy中,点C的坐标为(4,0),一次函数y=
x+3的图象分别交x轴,y轴于点A,点B.
(1)若点D是直线AB在第一象限内的点,且BD=BC,试求出点D的坐标.
(2)在(1)的条件下,若点Q是坐标轴上的一个动点,试探索在第一象限是否存在另一个点P,使得以B,D,P,Q为顶点的四边形是菱形(BD为菱形的一边)?若存在,请直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
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(1)若点D是直线AB在第一象限内的点,且BD=BC,试求出点D的坐标.
(2)在(1)的条件下,若点Q是坐标轴上的一个动点,试探索在第一象限是否存在另一个点P,使得以B,D,P,Q为顶点的四边形是菱形(BD为菱形的一边)?若存在,请直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
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答案和解析
(1)如图1,设点D(3a,4a+3),
过点D作DE⊥y轴于E,把x=0代入y=
x+3中,得,y=3,
∴OB=3,
∴BE=OE-OB=4a+3-3=4a,BC=
=5,
在Rt△BED中,根据勾股定理得,(3a)2+(4a)2=52,
∴a=±1,
∵点D在第一象限,
∴a=1,
∴D(3,7);
(2)由(1)知,BD=BC=5,
①当点Q在y轴上时,
设Q(0,q),
∵使得以B,D,P,Q为顶点的四边形是菱形(BD为菱形的一边),且点P在第一象限内,
即:四边形BDPQ是菱形,
∴PQ∥BD,DP∥BQ,
∴点P的横坐标为3,
∵四边形BDPQ是菱形,
∴BQ=BD=5,
∵B(0,3),
∴Q(0,8)或(0,-2),
Ⅰ、当点Q(0,8)时,
∵直线BD的解析式为y=
x+3,
∴直线PQ的解析式为y=
x+8,
当x=3时,y=12,
∴P(3,12),
Ⅱ、点Q(0,-2)时,
∵直线BD的解析式为y=
x+3,
∴直线PQ的解析式为y=
x-2,
当x=3时,y=2,
∴P(3,2),
②当点Q在x轴上时,
设Q(m,0),),
∵使得以B,D,P,Q为顶点的四边形是菱形(BD为菱形的一边),且点P在第一象限内,
即:四边形BDPQ是菱形,
∴BQ=BD=5,
∵OB=3,
∴OQ=4,
∴Q(-4,0)或(4,0)
Ⅰ、当Q(-4,0)时,∵一次函数y=
x+3的图象交x轴于点A,
∴A(-
,0),
∴点Q在点A的左侧,
∴点P在第二象限内,不符合题意,舍去,
Ⅱ、当点Q(4,0)时,∵四边形BDPQ是菱形,
∴BQ∥DP,PQ∥BD,
∵直线BD的解析式为y=
x+3,
∴设直线PQ的解析式为y=
x+b,
∴
×4+b=0,
∴b=-
,
∴直线PQ的解析式为y=
x-
①,
∵B(0,3),Q(4,0),
∴直线BQ的解析式为y=-
x+3,
∵D(3,7),
∴直线DP的解析式为y=-
x+
②,
联立①②解得,x=7,y=4,
∴P(7,4),
即:满足条件的点P的坐标为(3,12)、(3,2)、(7,4).
过点D作DE⊥y轴于E,把x=0代入y=
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∴OB=3,
∴BE=OE-OB=4a+3-3=4a,BC=
OB2+OC2 |
在Rt△BED中,根据勾股定理得,(3a)2+(4a)2=52,
∴a=±1,
∵点D在第一象限,
∴a=1,
∴D(3,7);
(2)由(1)知,BD=BC=5,
①当点Q在y轴上时,
设Q(0,q),
∵使得以B,D,P,Q为顶点的四边形是菱形(BD为菱形的一边),且点P在第一象限内,
即:四边形BDPQ是菱形,
∴PQ∥BD,DP∥BQ,
∴点P的横坐标为3,
∵四边形BDPQ是菱形,
∴BQ=BD=5,
∵B(0,3),
∴Q(0,8)或(0,-2),
Ⅰ、当点Q(0,8)时,
∵直线BD的解析式为y=
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∴直线PQ的解析式为y=
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当x=3时,y=12,
∴P(3,12),
Ⅱ、点Q(0,-2)时,
∵直线BD的解析式为y=
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∴直线PQ的解析式为y=
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当x=3时,y=2,
∴P(3,2),
②当点Q在x轴上时,
设Q(m,0),),
∵使得以B,D,P,Q为顶点的四边形是菱形(BD为菱形的一边),且点P在第一象限内,
即:四边形BDPQ是菱形,
∴BQ=BD=5,
∵OB=3,
∴OQ=4,
∴Q(-4,0)或(4,0)
Ⅰ、当Q(-4,0)时,∵一次函数y=
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∴A(-
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∴点Q在点A的左侧,
∴点P在第二象限内,不符合题意,舍去,
Ⅱ、当点Q(4,0)时,∵四边形BDPQ是菱形,
∴BQ∥DP,PQ∥BD,
∵直线BD的解析式为y=
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∴设直线PQ的解析式为y=
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∴
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∴b=-
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∴直线PQ的解析式为y=
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∵B(0,3),Q(4,0),
∴直线BQ的解析式为y=-
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∵D(3,7),
∴直线DP的解析式为y=-
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联立①②解得,x=7,y=4,
∴P(7,4),
即:满足条件的点P的坐标为(3,12)、(3,2)、(7,4).
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