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已知△ABC和△DEC都是等腰直角三角形,C为它们的公共直角顶点(1)如图1,当点D在BC边上时,连接AD、BE,求证:AD=BE;(2)如图2,F是线段AD上的一点,连接CF,若AF=CF,试判断BE与CF的数量关
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已知△ABC和△DEC都是等腰直角三角形,C为它们的公共直角顶点
(1)如图1,当点D在BC边上时,连接AD、BE,求证:AD=BE;
(2)如图2,F是线段AD上的一点,连接CF,若AF=CF,试判断BE与CF的数量关系和位置关系,并说明理由;
(3)如图3,把△DEC绕点C顺时针旋转α角(0°<α<90°)将(2)问的条件AF=CF换成AF=FD,其他条件不变,(2)问中的关系是否仍然成立?若成立,请说明理由;若不成立,请直接写出相应的正确的结论.
(1)如图1,当点D在BC边上时,连接AD、BE,求证:AD=BE;
(2)如图2,F是线段AD上的一点,连接CF,若AF=CF,试判断BE与CF的数量关系和位置关系,并说明理由;
(3)如图3,把△DEC绕点C顺时针旋转α角(0°<α<90°)将(2)问的条件AF=CF换成AF=FD,其他条件不变,(2)问中的关系是否仍然成立?若成立,请说明理由;若不成立,请直接写出相应的正确的结论.
▼优质解答
答案和解析
(1)∵△ABC和△DEC都是等腰直角三角形,
∴BC=AC,DC=EC,
在△ACD和△BCE中,
∴△ACD≌△BCE(SAS),
∴AD=BE.
(2)BE=2CF,BE⊥CF.
如图2:
理由如下:
∵△ABC和△DEC都是等腰直角三角形,
∴CA=CB,CD=CE,
在△ADC和△BEC中
,
∴△ADC≌△BEC,
∴AD=BE,∠1=∠CBE,
而AD=2CF,∠1=∠2,
∴BE=2CF,
而∠2+∠3=90°,
∴∠CBE+∠3=90°,
∴CF⊥BE;
(2)仍然有BE=2CF,BE⊥CF.理由如下:
延长CF到G使FG=CF,连结AG、DG,如图3,
∵AF=DF,FG=FC,
∴四边形ACDG为平行四边形,
∴AG=CD,AG∥CD,
∴∠GAC+∠ACD=180°,即∠GAC=180°-∠ACD,
∴CD=CE=AG,
∵△DEC绕点C顺时针旋转α角(0<α<90°),
∴∠BCD=α,
∴∠BCE=∠DCE+∠BCD=90°+α=90°+90°-∠ACD=180°-∠ACD,
∴∠GAC=∠ECB,
在△AGC和△CEB中
,
∴△AGC≌△CEB,
∴CG=BE,∠2=∠1,
∴BE=2CF,
而∠2+∠BCF=90°,
∴∠BCF+∠1=90°,
∴CF⊥BE.
∴BC=AC,DC=EC,
在△ACD和△BCE中,
|
∴△ACD≌△BCE(SAS),
∴AD=BE.
(2)BE=2CF,BE⊥CF.
如图2:
理由如下:
∵△ABC和△DEC都是等腰直角三角形,
∴CA=CB,CD=CE,
在△ADC和△BEC中
|
∴△ADC≌△BEC,
∴AD=BE,∠1=∠CBE,
而AD=2CF,∠1=∠2,
∴BE=2CF,
而∠2+∠3=90°,
∴∠CBE+∠3=90°,
∴CF⊥BE;
(2)仍然有BE=2CF,BE⊥CF.理由如下:
延长CF到G使FG=CF,连结AG、DG,如图3,
∵AF=DF,FG=FC,
∴四边形ACDG为平行四边形,
∴AG=CD,AG∥CD,
∴∠GAC+∠ACD=180°,即∠GAC=180°-∠ACD,
∴CD=CE=AG,
∵△DEC绕点C顺时针旋转α角(0<α<90°),
∴∠BCD=α,
∴∠BCE=∠DCE+∠BCD=90°+α=90°+90°-∠ACD=180°-∠ACD,
∴∠GAC=∠ECB,
在△AGC和△CEB中
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∴△AGC≌△CEB,
∴CG=BE,∠2=∠1,
∴BE=2CF,
而∠2+∠BCF=90°,
∴∠BCF+∠1=90°,
∴CF⊥BE.
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