模型建立：如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CB=CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于D，过B作BE⊥ED于E．求证：△BEC≌△CDA．模型应用：（1）已知直线l1：y=43x+4与y轴交与A点，将直线l1绕着

Question

模型建立：如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CB=CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于D，过B作BE⊥ED于E．

求证：△BEC≌△CDA．
模型应用：
（1）已知直线l₁：y=(4)/(3)x+4与y轴交与A点，将直线l₁绕着A点顺时针旋转45°至l₂，如图2，求l₂的函数解析式．
（2）如图3，矩形ABCO，O为坐标原点，B的坐标为（8，6），A、C分别在坐标轴上，P是线段BC上动点，设PC=m，已知点D在第一象限，且是直线y=2x-6上的一点，若△APD是不以A为直角顶点的等腰Rt△，请直接写出点D的坐标．

Answer 1

（1）证明：∵△ABC为等腰直角三角形，
∴CB=CA，
又∵AD⊥CD，BE⊥EC，
∴∠D=∠E=90°，∠ACD+∠BCE=180°-90°=90°，
又∵∠EBC+∠BCE=90°，
∴∠ACD=∠EBC，
在△ACD与△CBE中，

∠D＝∠E

∠ACD＝∠EBC

CA＝CB

，
∴△ACD≌△EBC（AAS）；

（2）过点B作BC⊥AB于点B，交l₂于点C，过C作CD⊥x轴于D，如图1，
∵∠BAC=45°，
∴△ABC为等腰Rt△，
由（1）可知：△CBD≌△BAO，
∴BD=AO，CD=OB，
∵直线l₁：y=(4)/(3)x+4，
∴A（0，4），B（-3，0），
∴BD=AO=4．CD=OB=3，
∴OD=4+3=7，
∴C（-7，3），
设l₂的解析式为y=kx+b（k≠0），
∴

3＝−7k+b

4＝b

，
∴

k＝(1)/(7)

b＝4

，
∴l₂的解析式：y=(1)/(7)x+4；

（3）当点D位于直线y=2x-6上时，分两种情况：
①点D为直角顶点，分两种情况：
当点D在矩形AOCB的内部时，过D作x轴的平行线EF，交直线OA于E，交直线BC于F，设D（x，2x-6）；
则OE=2x-6，AE=6-（2x-6）=12-2x，DF=EF-DE=8-x；
则△ADE≌△DPF，得DF=AE，即：
12-2x=8-x，x=4；
∴D（4，2）；
当点D在矩形AOCB的外部时，设D（x，2x-6）；
则OE=2x-6，AE=OE-OA=2x-6-6=2x-12，DF=EF-DE=8-x；
同1可知：△ADE≌△DPF，
∴AE=DF，即：2x-12=8-x，x=

作业帮用户 2017-10-10

问题解析

（1）先根据△ABC为等腰直角三角形得出CB=CA，再由AAS定理可知△ACD≌△CBE；
（2）过点B作BC⊥AB于点B，交l₂于点C，过C作CD⊥x轴于D，根据∠BAC=45°可知△ABC为等腰Rt△，由（1）可知△CBD≌△BAO，由全等三角形的性质得出C点坐标，利用待定系数法求出直线l₂的函数解析式即可；
（3）当点D为直角顶点，分点D在矩形AOCB的内部与外部两种情况；点P为直角顶点，显然此时点D位于矩形AOCB的外部，由此可得出结论．

名师点评

本题考点：

一次函数综合题；全等三角形的应用；等腰直角三角形；矩形的性质．

考点点评：

本题考查的是一次函数综合题，涉及到点的坐标、矩形的性质、一次函数的应用、等腰直角三角形以及全等三角形等相关知识的综合应用，需要考虑的情况较多，难度较大．

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