三角形AOB是等腰三角形,OA=OB,C为OB上一动点,以AC为直角边作等腰直角三角形ACD,角ACD=90度,连接OD,求角AOD的度数.
CD=90度,连接OD,求角AOD的度数.
解:过C点作CF⊥OB,延长OA交CE于E(图2)
∵△AOB为等腰直角三角形,
∴OA=BA;∠OAB=90°.
∵OA=BA,
∴∠ABO=∠AOB.
在△AOB中,
∠ABO=∠AOB=(180°-∠OAB)÷2=(180°-90°)÷2=90°÷2=45°.
∵△ACD为等腰直角三角形,
∴CA=CD;∠ACD=90°.
∵CF⊥OB,
∴∠FCO=90°.
在△ECO中, ∠AOB=45°,∠FCO=90°,
∴∠OEC=180°-∠AOB-∠FCO=180°-45°-90°=45°.
∴∠AOB=∠OEC.
∴CE=CO.
∵ ∠OCD+∠OCA=∠ACD=90°, ∠ECA+∠OCA=∠ECO=90°,
∴∠OCD=∠ECA.
在△CAE和△CDO中,
CA=CD,
∠ACE=∠DCO,
CE=CO,
∴△CAE≌△CDO(SAS).
∴∠AEC=∠DOC.
∴∠DOC=∠AEC=45°.
又∵∠AOB=45°,
∴∠AOD=∠AOB+∠COD=45°+45°=90°.
答: ∠AOD=90°.
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