三角形AOB是等腰三角形,OA=OB,C为OB上一动点,以AC为直角边作等腰直角三角形ACD,角ACD=90度,连接OD,求角AOD的度数.

Question

三角形AOB是等腰三角形,OA=OB,C为OB上一动点,以AC为直角边作等腰直角三角形ACD,角A
CD=90度,连接OD,求角AOD的度数.

Answer 1

解:过C点作CF⊥OB,延长OA交CE于E（图2）

  ∵△AOB为等腰直角三角形,

  ∴OA=BA；∠OAB=90°.

  ∵OA=BA,

  ∴∠ABO=∠AOB.

  在△AOB中,

  ∠ABO=∠AOB=(180°-∠OAB)÷2=(180°-90°)÷2=90°÷2=45°.

  ∵△ACD为等腰直角三角形,

  ∴CA=CD；∠ACD=90°.

  ∵CF⊥OB,

  ∴∠FCO=90°.

  在△ECO中, ∠AOB=45°,∠FCO=90°,

  ∴∠OEC=180°-∠AOB-∠FCO=180°-45°-90°=45°.

  ∴∠AOB=∠OEC.

  ∴CE=CO.

  ∵ ∠OCD+∠OCA=∠ACD=90°, ∠ECA+∠OCA=∠ECO=90°,

  ∴∠OCD=∠ECA.

  在△CAE和△CDO中,

    CA=CD,

    ∠ACE=∠DCO,

    CE=CO,

  ∴△CAE≌△CDO（SAS）.

  ∴∠AEC=∠DOC.

  ∴∠DOC=∠AEC=45°.

 又∵∠AOB=45°,

   ∴∠AOD=∠AOB+∠COD=45°+45°=90°.

                                              答: ∠AOD=90°.