如图，在平面直角坐标系中，直线y1=2x与直线y2=-6x+48交于点A，另有一直线平行于x轴，分别交线段OA、BA于M、N两点，则在x轴上是否存在一点R，使得△RMN为等腰直角三角形？若存在

Question

如图，在平面直角坐标系中，直线y ₁ =2x与直线y ₂ =-6x+48交于点A，另有一直线平行于x轴，分别交线段OA、BA于M、N两点，则在x轴上是否存在一点R，使得△RMN为等腰直角三角形？若存在，求出R点的坐标；若不能，请说明理由．

Answer 1

考点：
一次函数综合题
专题：
压轴题 分类讨论
分析：
设点M的横坐标为a，代入直线y1=2x求出点M的纵坐标，从而得到点M的坐标，即为点N的纵坐标，代入直线y2=-6x+48求出点N的横坐标，然后求出MN的长度，然后分①点M、N是直角顶点时MR=MN，NR=MN，然后列出方程求出a的值，即可得到点R的坐标；②∠MRN=90°时，点M的纵坐标等于12MN，列出方程求出a的值，再根据等腰直角三角形的性质求出点R的横坐标，然后写出点R的坐标即可．

设点M的横坐标为a，∵点M在直线y1=2x上，∴y=2a，∴点M的坐标为（a，2a），∵MN∥x轴，∴点N的纵坐标与点M的纵坐标相等，为2a，∴-6x+48=2a，解得x=24-a3，∴点N的坐标为（24-a3，2a），∴MN=24-a3-a=24-4a3，①点M（N）是直角顶点时MR=MN（NR=MN），24-4a3=2a，解得a=125，24-a3=24-1253=365，∴点R的坐标为（125，0）或（365，0）；②∠MRN=90°时，2a=12MN=12×24-4a3，整理得，24-4a=12a，解得a=32，∵△MNR是等腰直角三角形，∴点R的横坐标为a+12MN=a+2a=3a=32×3=92，∴点R的坐标为（92，0），综上所述，在x轴上是否存在一点R（125，0）或（365，0）或（92，0），使得△RMN为等腰直角三角形．
点评：
本题是一次函数综合题，主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质，设出点M的横坐标，然后表示出MN的长度，再根据等腰直角三角形的性质分情况列出方程是解题的关键，也是本题的难点．