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已知Sn是数列{an}的前n项和,且a1=2,当n≥2时有Sn=3Sn-1+2.(1)求证{Sn+1}是等比数列;(2)求数列{an}的通项公式.
题目详情
已知Sn是数列{an}的前n项和,且a1=2,当n≥2时有 Sn=3Sn-1+2.
(1)求证{Sn+1}是等比数列;
(2)求数列{an}的通项公式.
(1)求证{Sn+1}是等比数列;
(2)求数列{an}的通项公式.
▼优质解答
答案和解析
(1)∵Sn=3Sn-1+2
∴Sn+1=3Sn-1+2+1
∴
…(4分)
又∵S1+1=a1+1=3
∴数列{Sn+1}是以3为首项,3为公比的等比数列.…(6分)
(2)由(1)得∴
,
∴
…(8分)
∴
…(10分)
又当n=1时,a1=2也满足上式,…(12分)
所以,数列{an}的通项公式为:
…(14分)
∴Sn+1=3Sn-1+2+1
∴
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/91529822720e0cf37e70ef330946f21fbf09aa77.jpg)
又∵S1+1=a1+1=3
∴数列{Sn+1}是以3为首项,3为公比的等比数列.…(6分)
(2)由(1)得∴
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/6c224f4a20a44623ad2704aa9b22720e0df3d70d.jpg)
∴
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/a9d3fd1f4134970a2ef5b1e796cad1c8a6865d77.jpg)
∴
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/2f738bd4b31c8701dd30132e247f9e2f0608ff70.jpg)
又当n=1时,a1=2也满足上式,…(12分)
所以,数列{an}的通项公式为:
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/060828381f30e9243c223df94f086e061c95f770.jpg)
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