已知Sn是数列{an}的前n项和，且a1=2，当n≥2时有Sn=3Sn-1+2．（1）求证{Sn+1}是等比数列；（2）求数列{an}的通项公式．

Question

已知S_n是数列{a_n}的前n项和，且a₁=2，当n≥2时有 S_n=3S_n-1+2．
（1）求证{S_n+1}是等比数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

（1）∵S_n=3S_n-1+2
∴S_n+1=3S_n-1+2+1
∴…（4分）
又∵S₁+1=a₁+1=3
∴数列{S_n+1}是以3为首项，3为公比的等比数列．…（6分）
（2）由（1）得∴，
∴…（8分）
∴…（10分）
又当n=1时，a₁=2也满足上式，…（12分）
所以，数列{a_n}的通项公式为：…（14分）