已知数列{an}满足an+1=2an-1，a1=3，（Ⅰ）求证：数列{an-1}是等比数列；（Ⅱ）求数列{an}的通项公式和前n项和Sn．

Question

已知数列{a_n}满足a_n+1=2a_n-1，a₁=3，
（Ⅰ）求证：数列{a_n-1}是等比数列；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式和前n项和S_n．

Answer 1

（Ⅰ）依题意有an+1-1=2an-2且a1-1=2，所以an+1−1an−1＝2所以数列{an-1}是等比数列；（Ⅱ）由（Ⅰ）知an-1=（a1-1）2n-1，即an-1=2n，所以an=2n+1而Sn=a1+a2+…+an=（2+1）+（22+1）+（22+1）+…+（2n+1）=（2+22+...