已知等比数列{an}的各项均为正数，且2a1+3a2＝1，a32＝9a2a6．（I）求{an}的通项公式．（II）令cn=-log3an，求数列{cnan}的前n项和Sn．

Question

已知等比数列{a_n}的各项均为正数，且2a1+3a2＝1，a32＝9a2a6．
（I）求{a_n}的通项公式．
（II）令c_n=-log₃a_n，求数列{c_na_n}的前n项和S_n．

Answer 1

（I）设等比数列公比为q，由题意，
解

2a1+3a1•q＝1

(a1•q2)2＝9a1•q•a1•q5

得

a1＝(1)/(3)

q＝(1)/(3)

…（4分）
故{a_n}的通项公式为an＝((1)/(3))n…（6分）
（II）由（I）得：c_n=-log₃a_n=n，
∴{c_na_n}={n((1)/(3))n}…（7分）

Sn＝((1)/(3))1+2((1)/(3))2+3((1)/(3))3+…+n((1)/(3))n

(1)/(3)Sn＝((1)/(3))2+2((1)/(3))3+…+(n−1)((1)/(3))n+n((1)/(3))n+1

相减得 (2)/(3)Sn＝((1)/(3))+((1)/(3))2+…+((1)/(3))n−n((1)/(3))n+1…（9分）
=(1)/(3)(1−((1)/(3))n)/(1−(1)/(3))−n((1)/(3))n+1＝(1−((1)/(3))n)/(2)−n((1)/(3))n+1
∴Sn＝(3)/(4)[1−((1)/(3))n]−(3n)/(2)((1)/(3))n+1＝(3)/(4)−(3+2n)/(4)((1)/(3))n…（12分）