（1）已知复数z=3+bi，（i为虚数单位，b为正实数），且（z-2）2为纯虚数，求复数z；（2）已知（3x+1x）n的展开式中各二项式系数之和为16，求展开式中x项的系数．

Question

（1）已知复数z=3+bi，（i为虚数单位，b为正实数），且（z-2）²为纯虚数，求复数z；
（2）已知（3x+(1)/(√(x))）ⁿ的展开式中各二项式系数之和为16，求展开式中x项的系数．

Answer 1

（1）复数z=3+bi，（i为虚数单位，b为正实数），
则（z-2）²=（3-2+bi）²=（1+bi）²=1-b²-2bi，
∵（z-2）²为纯虚数，
∴1-b²=0，
解得b=1，
∴z=3+i，
（2）由题意可得展开式中各二项式系数之和2ⁿ=16，∴n=4．
（3x+(1)/(√(x))）ⁿ的展开式的通项公式为 T_r+1=C₄^r•3^4-r•x 4-(3)/(2)r，令4-(3)/(2)r=1，求得 r=2，
∴展开式中x项的系数为C₄²×3²=54．