如图，P是正方形对角线上一点，PE⊥BC，PF⊥DC，求证：（1）AP=EF；（2）AP⊥EF．

Question

如图，P是正方形对角线上一点，PE⊥BC，PF⊥DC，求证：

（1）AP=EF；
（2）AP⊥EF．

Answer 1

证明：（1）延长FP交AB于点G，则PG⊥AB，四边形BEPG是矩形．
∵点P是正方形ABCD的对角线上一点，
∴∠PBG=∠PBE=45°，∠GAE=90°，BC=AB，
又∵PG⊥AB，PE⊥BC，
∴PG=BG=PE，
∴四边形BEPG为正方形，
∴∠GPE=90°，
∴AG=FP．
在△AGP与△FPE中，

AG＝FP

∠AGP＝∠FPE

GP＝PE

，
∴△AGP≌△FPE（SAS），
∴AP=EF；
（2）延ADP交EF于H．
由（1）知△AGP≌△FPE，
∴∠APG=∠FEP，
∵∠APG+∠EPH=180°-∠GPE=90°，
∴∠FEP+∠EPH=90°，
∴∠PHE=90°，即PD⊥EF．