如图,在三角形ABC中,AB=AC,点P是BC边上一动点,过点P作PE丄AB,PF丄AC,BG丄AC,垂足点为点E、F、G当点P运动到CB的延长线上时,上述关系是否成立上述关系已知为PE+PF=BG

Question

如图,在三角形ABC中,AB=AC,点P是BC边上一动点,过点P作PE丄AB,PF丄AC,BG丄AC,垂足点为点E、F、G
当点P运动到CB的延长线上时,上述关系是否成立
上述关系已知为PE+PF=BG

Answer 1

证明：过P作PD⊥BG于D,
∵BG⊥AC,PF⊥AC,
∴PD∥GF,GD∥PF（垂直于同一条直线的两条直线互相平行）,
∴四边形PGDF是平行四边形（两条对边互相平行的四边形是平行四边形）；
又∵∠DGF=90°,
∴四边形PGDF是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）,
∴PF=GD（矩形的对边相等）①
∵四边形PGDF是矩形
∴PD∥GF,即PG∥AC,
∴∠BPD=∠C（两条直线平行,同位角相等）,
又∵AB=AC（已知）
∴∠ABC=∠C（等腰三角形的两底角相等）,
∴∠BPD=∠ABC（等量代换）
∵∠PEB=∠BDP=90°（已证）,BP=PB
∴△BPE≌△PBD（AAS）
∴PE=BD②
①+②：PE+PF=BG+GD
即PE+PF=BG；

当点P运动到CB的延长线上时,上述关系不成立
结论：PE-PF=BG