在正方形ABCD中,P为边AB上一点,DQ⊥DP交BC的延长线于点Q．PQ交AC于E点,求证：PE=EQ．

Question

在正方形ABCD中,P为边AB上一点,DQ⊥DP交BC的延长线于点Q．PQ交AC于E点,求证：PE=EQ．

Answer 1

∵ABCD是正方形
∴AD=DC
∠BAD=∠BCD=∠QCD
即∠PAD=∠QCD=90°
∵DP⊥DQ
∴∠CDQ+∠CDP=90°
∵∠ADP+∠CDP=90°
∴∠CDQ=∠ADP
∴△ADP≌△CDQ(ASA)
∴DP=DQ
PA=QC
∵AC是正方形对角线
∴∠BAC=45°
做QF∥AB交AC延长线于F
∴∠PAE=∠F=45°
∠FQC=∠B=90°
∴△FQC是等腰直角三角形
∴QC=FQ=PA
∵FQ=PA
∠PAE=∠F
∠AEP=∠FEQ
∴△AEP≌△FEQ(AAS)
∴PE=EQ