如图，在矩形ABCD中，点E是CD的中点，AE平分∠BED，PE⊥AE交BC于点P，连接PA，以下四个结论：①BE平分∠AEC；②PA⊥BE；③AD=32AB；④PB=2PC．则正确的个数是（）A.4个B.3个C.2个D.1个

Question

如图，在矩形ABCD中，点E是CD的中点，AE平分∠BED，PE⊥AE交BC于点P，连接PA，以下四个结论：①BE平分∠AEC；②PA⊥BE；③AD=

(√(3))/(2)AB；④PB=2PC．则正确的个数是（　　）

A. 4个

B. 3个

C. 2个

D. 1个

Answer 1

∵在矩形ABCD中，点E是CD的中点，
∴DE=EC，
在△ADE和△BCE中
∵

AD=BC

∠D=∠C

DE=EC

，
∴△ADE≌△BCE（SAS），
∴AE=BE，∠DEA=∠CEB，
∵AE平分∠BED，
∴∠AED=∠AEB，
∴∠AED=∠AEB=∠CEB=60°，
故：①BE平分∠AEC，正确；
可得△ABE是等边三角形，
∴∠DAE=∠EBC=30°，
∵PE⊥AE，
∴∠DEA+∠CEP=90°，
则∠CEP=30°，
故∠PEB=∠EBP=30°，
则EP=BP，
在△AEP和△ABP中

AE=AB

AP=AP

EP=BP

，
∴△AEP≌△ABP（SSS），
∴∠EAP=∠PAB=30°，
又∵AE=AB，
∴AP⊥BE，故②正确；
∵∠DAE=30°，
∴(DE)/(AD)=tan30°=(√(3))/(3)，
∴3DE=√(3)AD，
∴AD=√(3)DE，
∴③AD=(√(3))/(2)AB正确；
∵∠CEP=30°，
∴CP=(1)/(2)EP，
∵EP=BP，
∴CP=(1)/(2)BP，
∴④PB=2PC正确．
总上所述：正确的共有4个．
故选：A．