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如图1,在正方形ABCD中,P是对角线BD上的点,点E在AB上,且PA=PE.(1)求证:PC=PE;(2)求∠CPE的度数;(3)如图2,把正方形ABCD改为菱形ABCD,其他条件不变,试探究∠CPE与∠ABC之间的数量
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如图1,在正方形ABCD中,P是对角线BD上的点,点E在AB上,且PA=PE.
(1)求证:PC=PE;
(2)求∠CPE的度数;
(3)如图2,把正方形ABCD改为菱形ABCD,其他条件不变,试探究∠CPE与∠ABC之间的数量关系,并说明理由.
(1)求证:PC=PE;
(2)求∠CPE的度数;
(3)如图2,把正方形ABCD改为菱形ABCD,其他条件不变,试探究∠CPE与∠ABC之间的数量关系,并说明理由.
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:在正方形ABCD中,AB=BC,
∠ABP=∠CBP=45°,
在△ABP和△CBP中,
,
∴△ABP≌△CBP(SAS),
∴PA=PC,
∵PA=PE,
∴PC=PE;
(2) 由(1)知,△ABP≌△CBP,
∴∠BAP=∠BCP,
∵PA=PE,
∴∠PAE=∠PEA,
∴∠CPB=∠AEP,
∵∠AEP+∠PEB=180°,
∴∠PEB+∠PCB=180°,
∴∠ABC+∠EPC=180°,
∵∠ABC=90°,
∴∠EPC=90°;
(3)∠ABC+∠EPC=180°,
理由: 在菱形ABCD中,AB=BC,∠ABP=∠CBP=60°,
在△ABP和△CBP中,
,
∴△ABP≌△CBP(SAS),
∴∠BAP=∠BCP,
∵PA=PE,
∴∠DAP=∠DCP,
∴∠PAE=∠PEA,
∴∠CPB=∠AEP,
∵∠AEP+∠PEB=180°,
∴∠PEB+∠PCB=180°,
∴∠ABC+∠EPC=180°.
∠ABP=∠CBP=45°,
在△ABP和△CBP中,
|
∴△ABP≌△CBP(SAS),
∴PA=PC,
∵PA=PE,
∴PC=PE;
(2) 由(1)知,△ABP≌△CBP,
∴∠BAP=∠BCP,
∵PA=PE,
∴∠PAE=∠PEA,
∴∠CPB=∠AEP,
∵∠AEP+∠PEB=180°,
∴∠PEB+∠PCB=180°,
∴∠ABC+∠EPC=180°,
∵∠ABC=90°,
∴∠EPC=90°;
(3)∠ABC+∠EPC=180°,
理由: 在菱形ABCD中,AB=BC,∠ABP=∠CBP=60°,
在△ABP和△CBP中,
|
∴△ABP≌△CBP(SAS),
∴∠BAP=∠BCP,
∵PA=PE,
∴∠DAP=∠DCP,
∴∠PAE=∠PEA,
∴∠CPB=∠AEP,
∵∠AEP+∠PEB=180°,
∴∠PEB+∠PCB=180°,
∴∠ABC+∠EPC=180°.
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