如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，E，F，G分别是AB，BD，PC的中点，PE⊥底面ABCD．（Ⅰ）求证：平面EFG∥平面PAD．（Ⅱ）是否存在实数λ满足PB=λAB，使得平面PBC⊥平面PAD？若存在，求

Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，E，F，G分别是AB，BD，PC的中点，PE⊥底面ABCD．

（Ⅰ）求证：平面EFG∥平面PAD．
（Ⅱ）是否存在实数λ满足PB=λAB，使得平面PBC⊥平面PAD？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（本题满分9分）
（Ⅰ）证明：连结AC．
∵底面ABCD是矩形，F是BD中点，
∴F也是AC的中点．

∵G是PC的中点，∴GF是△PAC的中位线，
∴GF∥PA．
∵GF⊄平面PAD，PA⊂平面PAD，
∴GF∥平面PAD．
∵E是AB中点，F是BD中点，
∴EF是△ABD的中位线，
∴EF∥AD．
∵EF⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，
∴EF∥平面PAD．
∵GF∥平面PAD，EF∥平面PAD，EF∩FG=F，
∴平面EFG∥平面PAD．                                        …（5分）
（Ⅱ） 存在λ，λ=(√(2))/(2)，即PB=(√(2))/(2)AB时，平面PBC⊥平面PAD．
方法一：∵PE⊥底面ABCD，BC⊂底面ABCD，AB⊂底面ABCD，
∴PE⊥BC，PE⊥AB．
∵底面ABCD是矩形，
∴AB⊥BC．
∵PE∩AB=E，
∴BC⊥平面PAB．
∵PA⊂平面PAB，
∴PA⊥BC．
∵PE⊥AB，E为AB的中点，
∴PA=PB．
当PA⊥PB，即PA=PB=(√(2))/(2)AB时，
∴PA⊥平面PBC．
∵PA⊂平面PAD，
∴平面PAD⊥平面PBC．此时 λ=(√(2))/(2)．…（9分）
方法二：过点P作PQ∥BC．

∴PQ，BC共面，即PQ⊂平面PBC．
∵底面ABCD是矩形，
∴AD∥BC．
∵PQ∥BC，
∴PQ∥AD．
∴PQ，AD共面，即PQ⊂平面PAD．
∴平面PBC∩平面PAD=PQ．
∵PE⊥底面ABCD，BC⊂底面ABCD，
∴PE⊥BC．
∵底面ABCD是矩形，
∴AB⊥BC．
∵PQ∥BC，
∴PE⊥PQ，AB⊥PQ．
∵PE∩AB=E，
∴PQ⊥平面PAB．
∵PA⊂平面PAB，PB⊂平面PAB，
∴PA⊥PQ，PB⊥PQ，
∴∠APB是平面PAD和平面PBC所成二面角的平面角．
∵平面PAD⊥平面PBC，
∴∠APB=90°．
∵PE⊥AB，E为AB的中点，
∴PA=PB．
∴△PAB是等腰直角三角形．
∴PA=(√(2))/(2)AB．即PB=(√(2))/(2)AB时，平面PBC⊥平面PAD．    …（9分）