正方形ABCD的边长为4，E为正方形外一个动点，∠AED=45°，P为AB中点，线段PE的最小值是．

Question

正方形ABCD的边长为4，E为正方形外一个动点，∠AED=45°，P为AB中点，线段PE的最小值是___．

Answer 1

连接AC交PE于O，如图所示：
当PE⊥AB时，PE最小，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠ADC=90°，AB=BC=4，∠ACD=45°，
∴AC=√(AB2+BC2)=4√(2)，AB⊥BC，
∵PE⊥AB，
∴PE∥BC，
∵P为AB中点，
∴O为AC的中点，
∴OP=(1)/(2)BC=2，OC=(1)/(2)AC=2√(2)，
∵∠AED=45°=∠ACD，
∴A、C、E、D四点共圆，
∵∠ADC=90°，
∴AC为直径，O为圆心，
∴OE=OC=2√(2)，
∴PE=OP+OE=2+2√(2)，
即线段PE的最小值是2+2√(2)；
故答案为：2+2√(2)．