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已知:正方形ABCD的边长为1,点P为对角线BD上一点,连接CP.(1)如图1,当BP=BC时,作PE⊥PC,交AB边于E,求BE的长;(2)如图2,当DP=DC时,作PE⊥PC,交BC边于E,求BE的长.

题目详情
已知:正方形ABCD的边长为1,点P为对角线BD上一点,连接CP.
(1)如图1,当BP=BC时,作PE⊥PC,交AB边于E,求BE的长;
(2)如图2,当DP=DC时,作PE⊥PC,交BC边于E,求BE的长.
▼优质解答
答案和解析
(1)∵四边形ABCD是正方形,
∴∠ABD=∠BDC=45°,∠BCP+∠DCP=90°,
∵PE⊥PC,
∴∠BPE+∠BPC=90°,
∵BP=BC,
∴∠BPC=∠BCP,
∴∠BPE=∠DCP,
又BP=BC=DC,
∴△BPE≌△DCP,
∴BE=PD.
∵BC=CD=1,
∴BD=
2

又BP=BC=1,
∴BE=PD=BD-BP=
2
−1;

(2)∵BC=CD=DP=1,
∴BD=
2
,PB=
2
−1.
∵PE⊥PC,
∴∠EPC=90°,
∴∠BPE+∠DPC=90°.
∵DP=DC,
∴∠DPC=∠DCP,
又∠BCP+∠DCP=90°,
∴∠BPE=∠BCP,
又∠PBE=∠CBP,
∴△BPE∽△BCP,
BP
BC
BE
BP

BE=
BP2
BC
(
2
−1)2
1
=3−2
2