（2013•宝应县一模）如图所示的镀锌铁皮材料ABCD，上沿DC为圆弧，其圆心为A，圆半径为2米，AD⊥AB，BC⊥AB，且BC=1米．现要用这块材料裁一个矩形PEAF（其中P在圆弧DC上、E在线段AB上，F在线

Question

（2013•宝应县一模）如图所示的镀锌铁皮材料ABCD，上沿DC为圆弧，其圆心为A，圆半径为2米，AD⊥AB，BC⊥AB，且BC=1米．现要用这块材料裁一个矩形PEAF（其中P在圆弧DC上、E在线段AB上，F在线段AD上）做圆柱的侧面，若以PE为母线，问如何裁剪可使圆柱的体积最大？其最大值是多少？

Answer 1

解法1：分别以AB、AD所在直线为x轴、y轴建立直角坐标系xoy，
则圆弧DC的方程为：x2+y2＝4(0≤x≤√(3)，y＞0)，
设P(x，y)(0＜x≤√(3))，圆柱半径为r，体积为V，则PE＝√(4−x2)，
∵2πr=AE=x，∴r＝(x)/(2π)，
∴V＝πr2l＝π((x)/(2π))2√(4−x2)=(1)/(4π)x2√(4−x2)，
∴V2＝(1)/(16π2)x4(4−x2)，
设t=x²∈（0，3]，u=t²（4-t），∴u′＝−3t2+8t＝−3t(t−(8)/(3))，
令u'=0，得t＝(8)/(3)，
当(8)/(3)＜t≤3时，u'＜0，u是减函数；当0＜t＜

作业帮用户 2016-12-08

问题解析

解法1：分别以AB、AD所在直线为x轴、y轴建立直角坐标系xoy，设P(x，y)(0＜x≤

√(3))，圆柱半径为r，体积为V，则PE＝√(4−x2)，r＝(x)/(2π)，从而可求体积，利用换元法，结合求导数，即可求得V的最大值；
解法2：设∠PAB＝θ(θ∈[(π)/(6)，(π)/(2))，则PE=2sinθ，AE=2cosθ，r＝(cosθ)/(π)，从而可求体积，利用换元法，结合求导数，即可求得V的最大值．

名师点评

本题考点：

导数在最大值、最小值问题中的应用．

考点点评：

本题考查导数知识的运用，考查函数模型的构建，解题的关键是函数模型的构建，属于中档题．

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