如图，已知△ABC中∠C=90°，BC=4，AC=3，点P是斜边AB上的一动点，作PE⊥BC于点E，作PF⊥AC于点F，垂足分别为E、F．（1）求证：四边形PECF是矩形；（2）想一想，当点P运动到什么地方时，△APF与

Question

如图，已知△ABC中∠C=90°，BC=4，AC=3，点P是斜边AB上的一动点，作PE⊥BC于点E，作PF⊥AC于点F，垂足分别为E、F．
（1）求证：四边形PECF是矩形；
（2）想一想，当点P运动到什么地方时，△APF与△PBE全等，证明你的猜想；
（3）想一想，当点P运动到什么地方时，四边形PECF是正方形，证明你的猜想；
（4）想一想，当点P运动到什么地方时，四边形PECF的面积最大，并求出这个最大值．

Answer 1

（1）证明：∵PE⊥BC，
∴∠PEC=90°（1分）
同理：∠PFC=∠C=90°，
∴四边形PECF是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形）；（2分）

（2）P运动到线段AB的中点时，△APF与△PBE全等（3分）
∵PE⊥BC，
∴∠PEB=∠C=90°，
∴PE∥AC，
∴∠EPB=∠A（4分）
同理∠APF=∠B，
若点P是AB的中点则有AP=PB，
可得△APF≌△PBE（ASA）；（5分）

（3）当AP=(15)/(7)时，四边形PECF是正方形，
由（1）知四边形PECF是矩形，若四边形PECF是正方形，
则有PE=PF，设PE=PF=x，
则CF=x，AF=3-x，（6分）
∵PE∥AC，
∴∠BEP=∠C，∠BPE=∠A，
∴△APF∽△ABC，（7分）
∴(PF)/(AF)＝(BC)/(AC)＝(4)/(3)，即(x)/(3−x)＝(4)/(3)，
解得x=(12)/(7)，
经检验x=(12)/(7)是方程的根，
∴AF=3-x=(9)/(7)，CF=x=(12)/(7)，
在Rt△AFP中，根据勾股定理得：AP=√(AF2+PF2)=(15)/(7)，
即当AP=(15)/(7)时，PE=PF=(12)/(7)，
矩形PECF是正方形；

（4）当AP=(5)/(2)时，四边形PECF的面积最大．
由（1）知四边形PECF是矩形，
∵∠C=90°，BC=4，AC=3，
∴根据勾股定理得：AB=√(AC2+BC2)=5，（9分）
设AP=x，则由△APF∽△ABC可得：(PF)/(AP)＝(BC)/(AB)＝(4)/(5)，即PF=(4)/(5)x，
(AF)/(AP)=(AC)/(AB)=