已知公差不为0的等差数列{an}满足a1=1，且a1、a2、a4为等比数列{bn}的前三项．（1）求数列{an}、{bn}的通项公式；（2）求数列{anbnbn+1}的前n项和；（3）数列{anbn}中是否有三项成等差数列，若有

Question

已知公差不为0的等差数列{a_n}满足a₁=1，且a₁、a₂、a₄为等比数列{b_n}的前三项．
（1）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）求数列{(an)/(bnbn+1)}的前n项和；
（3）数列{a_nb_n}中是否有三项成等差数列，若有，请写出一组；若没有，请说明理由．

Answer 1

（1）a₁=1，且a₁、a₂、a₄为等比数列{b_n}的前三项，
设等差数列{a_n}的公差d不为0，
即有a₁a₄=a₂²，
则为1+3d=（1+d）²，
解得d=1（0舍去），
则a_n=1+n-1=n，
b_n=a₁•（(a2)/(a1)）^n-1=2^n-1；
（2）(an)/(bnbn+1)=(n)/(2n•2n-1)=n•（(1)/(2)）^2n-1，
前n项和T_n=1•(1)/(2)+2•(1)/(8)+3•(1)/(32)+…+n•（(1)/(2)）^2n-1，
(1)/(4)T_n=1•(1)/(8)+2•(1)/(32)+3•(1)/(128)+…+n•（(1)/(2)）²ⁿ⁺¹，
两式相减可得(3)/(4)T_n=(1)/(2)+(1)/(8)+(1)/(32)+…+（(1)/(2)）^2n-1-n•（(1)/(2)）²ⁿ⁺¹
=((1)/(2)(1-(1)/(4n)))/(1-(1)/(4))-n•（(1)/(2)）²ⁿ⁺¹
化简可得T_n=(8)/(9)-(8+6n)/(9•4n)；
（3）假设数列{a_nb_n}中有三项成等差数列，设为a_kb_k，a_lb_l，a_mb_m，
即有2l•2^l-1=k•2^k-1+m•2^m-1，k<l<m，
由于n•2^n-1递增，且2^n-1≥n，
则k•2^k-1+m•2^m-1≥k²+m²，
由k<l<m，可