如图，在△ABC中AB=AC=6cm，BC=8cm．点E是线段BC边上的一动点（不含B、C两端点），连结AE，作∠AED=∠B，交线段AB于点D．（1）求证：△BDE∽△CEA；（2）设BE=x，AD=y，请写y与x之间的函数关系式，

Question

如图，在△ABC中AB=AC=6cm，BC=8cm．点E是线段BC边上的一动点（不含B、C两端点），连结AE，作∠AED=∠B，交线段AB于点D．
（1）求证：△BDE∽△CEA；
（2）设BE=x，AD=y，请写y与x之间的函数关系式，并求y的最小值．
（3）E点在运动的过程中，△ADE能否构成等腰三角形？若能，求出BE的长；若不能，请说明理由．

Answer 1

（1）证明：∵∠BDE=180°-∠DEB-∠B，∠CEA=180°-∠DEB-∠AED，
又∠B=∠AED，
∴∠BDE=∠CEA，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴△BDE∽△CEA；

（2）∵△BDE∽△CEA，
∴(BD)/(EC)＝(BE)/(AC)，
即(6−y)/(8−x)＝(x)/(6)，
∴y＝(1)/(6)x2−(4)/(3)x+6=(1)/(6)(x−4)2+(10)/(3)（0＜x＜8），
∴当x=4，y有最小值是(10)/(3)；

（3）∵∠ADE是△BDE的外角，
∴∠ADE＞∠B，
∵∠B=∠AED，
∴∠ADE＞∠AED，
∴AE≠AD．
①当AE=DE时，
得△BDE≌△CEA，
∴BE=AC=6cm；
②当DA=DE时，∠BAE=∠AED=∠C，
又∵∠B=∠B，
∴△BAE∽△BCA，
∴(BA)/(BC)＝(BE)/(BA)，
即：(6)/(8)＝(BE)/(6)，
∴BE＝(36)/(8)＝(9)/(2)cm，
∴△ADE为等腰三角形时，BE＝6cm或(9)/(2)cm．