某城市的海港港口与火车站位于该城市市中心的东西两端，相距d．现拟在城南修建一座机场，为避免噪音影响，要求机场位置离市中心的距离不小于d2公里，按计划，机场到海港要修建直线

Question

某城市的海港港口与火车站位于该城市市中心的东西两端，相距d．现拟在城南修建一座机场，为避免噪音影响，要求机场位置离市中心的距离不小于(d)/(2)公里，按计划，机场到海港要修建直线铁路，造价每公里c₁万元，机场到火车站要修建直线高速公路，造价为每公里c₂万元．问铁路与高速公路的设计长度各为多少公里时，可使总造价最低？求出最低价．

Answer 1

设铁路设计长度为x公里，高速公路设计长度为y公里．
按题意，本题即为如下的最小值问题：
目标函数为 u（x，y）=（c₁x+c₂y），约束条件为x²+y²=d²．
令F＝(c1x+c2y)+λ(x2+y2−d2)，
由

F′x＝c1+2λx＝0

F′y＝c2+2λy＝0

F′λ＝x2+y2−d2＝0

⇒x＝(c1d)/(√(c21+c22))，y＝(c2d)/(√(c21+c22))，
由问题的实际意义可知，最低造价为：
u(x，y)＝(c21d+c22d)/(√(c21+c22))＝√(c21+c22)d．