设f（x）有一阶连续导数，f（0）=0，f′（0）≠0，F（x）=∫x0(x2−t2)f（t）dt．当x→0时F′（x）与xk为同阶无穷小，求常数k．

Question

设f（x）有一阶连续导数，f（0）=0，f′（0）≠0，F（x）=

∫

x 0

(x2−t2)f（t）dt．当x→0时F′（x）与x^k为同阶无穷小，求常数k．

Answer 1

因为F（x）=∫x0(x2−t2)f（t）dt=x2∫x0f(t)dt-∫x0t2f(t)dt，利用积分上限函数的求导公式可得，F′（x）=2x∫x0f(t)dt+x2f(x)−x2f(x)=2x∫x0f(t)dt．因为f（x）有一阶连续导数，f（0）=0，f′（0）≠0，所以f（x...