如图所示，在平行四边形ABCD中，∠BAD=π3，AB=2，AD=1，点E、F分别是边AD、DC上的动点，且|CF||CD|=|DE||DA|=t，BE与AC交于G点．（1）若t=12，试用向量AB，AD表示向量AG；（2）求BG•BF的取值范围．

Question

如图所示，在平行四边形ABCD中，∠BAD=(π)/(3)，AB=2，AD=1，点E、F分别是边AD、DC上的动点，且(|CF|)/(|CD|)=(|DE|)/(|DA|)=t，BE与AC交于G点．
（1）若t=(1)/(2)，试用向量

AB

，

AD

表示向量

AG

；
（2）求

BG

•

BF

的取值范围．

Answer 1

（1）若t=(1)/(2)，则

CF

＝(1)/(2)

CD

，

DE

＝(1)/(2)

DA

，
∵点E、G、B三点共线，
∴

AG

＝m

AE

+(1−m)

AB

=(1)/(2)m

AD

+（1-m）

AB

，
设

AG

＝n

AC

，则

AG

＝n(

AD

+

AB

)，
∴(1)/(2)m

AD

+（1-m）

AB

=n(

AD

+

AB

)，则

(1)/(2)m＝n

1−m＝n

，
解得m=(2)/(3)，n=(1)/(3)，
∴

AG

=(1)/(3)(

AD

+

AB

)；
（2）

AG

＝m

AE

+(1−m)

AB

=m（1-t）

AD

+（1-m）

AB

，
设

AG

＝n

AC

，则

AG

＝n(

AD

+

AB

)，
则

m(1−t)＝n

1−m＝n

，得n=(1−t)/(2−t)，
∴

AG

＝(1−t)/(2−t)(

AD

+

AB

)，
则

BG

＝

AG

−

AB

=(1−t)/(2−t)（

AD

+

AB

）-

AB

=(1−t)/(2−t)

AD

-(1)/(2−t)

AB

，

BF

＝

BC

+

CF

=

AD

−t

AB

，
而

AB

•

AD

=|

AB

||

AD

|cos∠BAD=2×1×cos(π)/(3)=1，
∴

BG

•

BF

=（(1−t)/(2−t)

AD

-(1)/(2−t)

AB

）•（

AD

−t

AB

）=(1−t)/(2−t)+(4t)/(2−t)-(t(1−t))/(2−t)−(1)/(2−t)=(t2+2t)/(2−t)，
令y=(t2+2t)/(2−t)（0≤t≤1），
y'=(−(t−2)2+8)/((2−t)2)＞0，
∴y=(t2+2t)/(2−t)在t∈[0，1]上递增，
t=0时y_min=0，t=1时y_max=3，
∴

BG

•

BF

的取值范围为[0，3]．