如图，正方形ABCD的边长为8，M、N分别是边BC、CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，始终保持AM和MN垂直．（1）证明：Rt△ABM∽Rt△MCN；（2）设BM=x，梯形ABCN的面积为y，求y与x之间的函数关系

Question

如图，正方形ABCD的边长为8，M、N分别是边BC、CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，始终保持AM和MN垂直．
（1）证明：Rt△ABM∽Rt△MCN；
（2）设BM=x，梯形ABCN的面积为y，求y与x之间的函数关系式；当M点运动到什么位置时，梯形ABCN的面积最大，并求出最大面积；
（3）当M点运动到什么位置时，Rt△ABM∽Rt△AMN？

Answer 1

（1）证明：在正方形ABCD中，∠B=∠C=90°，
∵AM⊥MN，
∴∠AMN=90°，
∴∠CMN+∠AMB=90°．
在Rt△ABM中，∠BAM+∠AMB=90°，
∴∠BAM=∠CMN，
∴Rt△ABM∽Rt△MCN；
（2）∵Rt△ABM∽Rt△MCN，BM=x，
∴(AB)/(MC)=(BM)/(CN)，即(8)/(8-x)=(x)/(CN)，
整理得：CN=(-x2+8x)/(8)，
∴y=S_梯形ABCN=(1)/(2)×（(-x2+8x)/(8)+8）×8=-(1)/(2)x²+4x+32=-(1)/(2)（x-4）²+40（0<x<8），
则当x=4，即M点运动到BC的中点时，梯形ABCN的面积最大，最大值为40；
（3）∵∠B=∠AMN=90°，
∴要使Rt△ABM∽Rt△AMN，必须有(AB)/(AM)=(BM)/(MN)，即BM=(AB•MN)/(AM)，
由（1）知(AM)/(MN)=(AB)/(MC)，即MC=(AB•MN)/(AM)，
∴BM=MC，
则当点M运动到BC的中点时，Rt△ABM∽Rt△MCN．