已知△ABC中，M是BC的中点，AM=7，设内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且cosAcosC=3a2b-3c．（1）求角A的大小；（2）若角B=π6

Question

已知△ABC中，M是BC的中点，AM=

7

，设内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且 (cosA)/(cosC) =(3a)/(2b-3c) ．
（1）求角A的大小；
（2）若角B= (π)/(6) ，求△ABC的面积；
（3）求△ABC面积的最大值．

Answer 1

（1）∵ (cosA)/(cosC) =(3a)/(2b-3c) ，
∴ (cosA)/(cosC) =(3sinA)/(2sinB-3sinC)
∴ 2cosAsinB-

3

cosAsinC=

3

sinAcosC
∴ 2cosAsinB=

3

sin(A+C)
∴ cosA=(3)/(2)
∵0＜A＜π
∴A= (π)/(6) ；
（2）设CM=x，则AC=2x，
在△AMC中，7=x ² +4x ² -2x•2x•cos∠ACM
∴x=1
∴AC=BC=2
∴S _△ABC = (1)/(2) ×2×2×sin120° =

3

；
（3）延长AM至D，使得MD=AM
设AB=x，AC=y，则28=x ² +y ² -2xycos150°=x ² +y ² +

3

xy≥ (2+

3

)xy
∴ xy≤(28)/(2+3) =28（ 2-

3

）
∴S _△ABC =S _△ACD = (1)/(2) xysin150° = (1)/(4) xy ≤7（ 2-

3

）
∴x=y时，△ABC面积的最大值为7（ 2-

3

）．