在三角形ABC中,AB=6,Ac=8,BC=10,p为边BC上一动点,PE丄AB于E,PE丄AC于F,M为EF中点,则AM的最小值为多少.

Question

在三角形ABC中,AB=6,Ac=8,BC=10,p为边BC上一动点,PE丄AB于E,PE丄AC于F,M为EF中点,则AM的最小值为多少.

Answer 1

∵△ABC有三边长为6、8、10,6*6+8*8=10*10,∴△ABC为直角三角形,∠BAC=90度.又∵PE ⊥AB 、PF⊥AC,∴AEPF为矩形.M为EF的中点,∴AM是矩形对角线PA的1/2,只有当矩形相邻的两边相等（即矩形为正方形）时,其对角线最短.设正方形的边长为X,∵直角△PBE∽直角△CPF,∴PF:EB=CF:PE（AE=EP=PF=FA=X) ,即 X：(6-X)=(8-X):X,解得X=24/7.则对角线AP=(24√ 2)/7, ∴AM=1/2AP=(12√2)/7.在直角△EBP中,EB=6-24/7=18/7,EP=24/7,∴BP^2=BE^2+PE^2,即BP^2=(18/7)^2+(24/7)^2=900/49,∴BP=30/7,即当P点移到离B点30/7时,AM的值最小,最值为(12√2)/7.