两道七上几何题线段AB上有两点M,N,且MN=1.5,AM：MB=5：11,AM：NB=5：7,求AB的长度.工作流程线上依次放置着5个机器人A,B,C,D,E,还放置着一个大工具箱,5个机器人取工具的次数相同.（1）如果AB=BC=CD=DE,

Question

两道七上几何题
线段AB上有两点M,N,且MN=1.5,AM：MB=5：11,AM：NB=5：7,求AB的长度.
工作流程线上依次放置着5个机器人A,B,C,D,E,还放置着一个大工具箱,5个机器人取工具的次数相同.
（1）如果AB=BC=CD=DE,将工具箱放在何处,才能使机器人取工具所花费的时间最少?
（2）如果5个机器人并非均匀地置于流程线上,只是A,E两个的位置与（1）中相同,工具箱应放在何处?

Answer 1

1
因为AM:MB=5:11,那么AM:AB=5:16,AM=(5/16)AB；
因为AN:NB=5:7,那么AN:AB=5:12,AN=(5/12)AB；
所以：
MN
=AN-AM
=(5/12)AB-(5/16)AB
=(5/48)AB
AB=(48/5)MN=(48/5)*1.5=14.4
2
：（1）应将工具箱放在流程线的中点即图中C处,说明如下：
不妨设AB＝1,当工具箱放在点C处时,每个机器人取一次工具所走距离的和为：
2×（AC＋BC＋DC＋EC）＝12.
当工具箱放在B,C之间的点F处时,设BF＝x,则0＜x＜1,这时
2×（AF＋BF＋DF＋EF）＝2[（1＋x）＋x＋（1－x）＋（2－x）＋（3－x）]
＝2（7－x）＞12
当工具箱放在点A,B之间的点G处（含A,B两点）时,设AG＝x,则0≤x≤1,那么
2（AG＋BG＋CG＋DG＋EG）＝2[x＋（1－x）＋（2－x）＋（3－x）＋（4－x）]
＝2（10－3x）≥14
同样可知,当工具箱放在点C右边某点时,每个机器人取一次工具所走距离之和均大于12.
所以,将工具箱放在AE的中点,即点C处,才能使机器人所花费的时间最少.
（2）当机器人被随意,而非无效地放在流程线上时,用点A,B、C、D、E表示5个机器人所处位置,则应将工具箱置于点C处（这时点C不一定是AE中点）.说明如下：
当工具箱放在点C处时,每个机器人取一次工具所走距离之和为：
2（AC＋BC＋DC＋EC）＝2（AE＋BD）
如果放在点B,C之间的点M处,则
AM＋BM＋CM＋DM＋EM＝AE＋BD＋CM＞AE＋BD.
同样可说明放在其他位置时,5个机器人各取一次工具所走距离之和大于AE＋BD.所以,应将工具箱放在点C处.