如果有穷数列a1，a2，a3，…，am（m为正整数）满足条件a1=am，a2=am-1，…，am=a1，即ai=am-i+1（i=1，2，…，m），我们称其为“对称数列”．例如，数列1，2，5，2，1与数列8，4，2，2，4，8都是“

Question

如果有穷数列a₁，a₂，a₃，…，a_m（m为正整数）满足条件a₁=a_m，a₂=a_m-1，…，a_m=a₁，即a_i=a_m-i+1（i=1，2，…，m），我们称其为“对称数列”．例如，数列1，2，5，2，1与数列8，4，2，2，4，8都是“对称数列”．
（1）设{b_n}是7项的“对称数列”，其中b₁，b₂，b₃，b₄是等差数列，且b₁=2，b₄=11．依次写出{b_n}的每一项；
（2）设{c_n}是49项的“对称数列”，其中c₂₅，c₂₆，…，c₄₉是首项为1，公比为2的等比数列，求{c_n}各项的和S；
（3）设{d_n}是100项的“对称数列”，其中d₅₁，d₅₂，…，d₁₀₀是首项为2，公差为3的等差数列．求{d_n}前n项的和S_n（n=1，2，…，100）．

Answer 1

（1）设数列{b_n}的公差为d，则b₄=b₁+3d=2+3d=11，解得d=3，
∴数列{b_n}为2，5，8，11，8，5，2．
（2）S=c₁+c₂+…+c₄₉=2（c₂₅+c₂₆+…+c₄₉）-c₂₅=2（1+2+2²+…+2²⁴）-1=2（2²⁵-1）-1=2²⁶-3=67108861．
（3）d₅₁=2，d₁₀₀=2+3×（50-1）=149．
由题意得d₁，d₂，，d₅₀是首项为149，公差为-3的等差数列．
当n≤50时，S_n=d₁+d₂+…+d_n=149n+(n(n−1))/(2)(−3)＝−(3)/(2)n2+(301)/(2)n．
当51≤n≤100时，S_n=d₁+d₂+…+d_n=S₅₀+（d₅₁+d₅₂+…+d_n）
=3775+2•(n−50)+((n−50)(n−51))/(2)×3=(3)/(2)n2−(299)/(2)n+7500
综上所述，Sn＝

−(3)/(2)n2+(301)/(2)n	，1≤n≤50
(3)/(2)n2−(299)/(2)n+7500	，51≤n≤100