设二维随机变量（X，Y）在D={（x，y）|1≤x≤3，1≤y≤x}上服从均匀分布．（1）求（X，Y）的联合密度f（x，y）；（2）判断X与Y是否独立？给出理由；（3）求Z=X+Y密度函数．

Question

设二维随机变量 （X，Y） 在 D={（x，y）|1≤x≤3，1≤y≤x } 上服从均匀分布．
（1）求（X，Y）的联合密度f（x，y）；
（2）判断X与Y是否独立？给出理由；
（3）求Z=X+Y密度函数．

Answer 1

（1）D的面积m（D）=2，所以，（X，Y） 的联合密度
f（x，y）=

(1)/(2)	amp;(x，y)∈D
0	amp;其它

（2）设X与 Y 的边际密度函数分别为f_X（x） 和f_Y（y），
f_X（x）=

∫

+∞ −∞

f(x，y)dy=

∫

x 1

(1)/(2)dy=(1)/(2)(x−1)，（1≤x≤3）．
f_Y（y）=

∫

+∞ −∞

f(x，y)dx=

∫

3 y

(1)/(2)dx=(1)/(2)(3−y)，（1≤y≤3）．
因为 f（x，y）≠f_X（x）f_Y（y），所以 X与Y不独立．
（3）∵fZ(z)＝

∫

+∞ −∞

fX(x， z−x) dx
非零区域

1≤x≤3

1≤z−x≤x

⇒

1≤x≤3

x+1≤z≤2x

当2≤z＜4时，fZ(z)＝

∫	z−1 (z)/(2)

(1)/(2)dx=(z)/(4)−(1)/(2)
当4≤z≤6时，fZ(z)＝

∫

3 (z)/(2)

(1)/(2)dx=−(z)/(4)+(3)/(2)
其它，f_Z（z）=0
∴fZ(z)＝

(z)/(4)−(1)/(2)，2≤z＜4

−(z)/(4)+(3)/(2)  ，4≤z≤6

  0  ，其它