设f（x）定义在（-∞，+∞）上，且在x=0连续，并且对所有的x，y∈（-∞，+∞），有f（x+y）=f（x）+f（y）．证明：f（x）在（-∞，+∞）上连续，且f（x）=f（1）x．

Question

设f（x）定义在（-∞，+∞）上，且在x=0连续，并且对所有的x，y∈（-∞，+∞），有f（x+y）=f（x）+f（y）．证明：f（x）在（-∞，+∞）上连续，且f（x）=f（1）x．

Answer 1

证明：显然f（0）=0，

lim

y→x

f(y)=

lim

y→x

[f(x)+f(y-x)]=f(x)+

lim

y-x→0

f(y-x)=f（x），
由条件f（x+y）=f（x）+f（y），x，y∈（-∞，+∞），
易知，对于任意的有理数r，有f（r）=f（1）r，
对于任意的实数x，存在{r_n}，使

lim

n→∞

rn=x，f（r_n）=f（1）r_n，由于f（x）的连续性，
于是f（x）=f（1）x．