求下列方程所确定的隐函数z=f（x,y）的全微分dz（1）.x∧2+y∧2+z∧2-3axyz0（2）.x/z=lnz/y

Question

求下列方程所确定的隐函数z=f（x,y）的全微分dz （1）.x∧2+y∧2+z∧2-3axyz
0
（2）.x/z=lnz/y

Answer 1

dz=əf(x,y)/əx*dx+əf(x,y)/əy*dy
(1).x²+y²+z²-3axyz=0
对方程两边分别对x和y求导,可得
2x+2z*əz/əx-3ay(z+x*əz/əx)=0 (1)
2y+2z*əz/əy-3ax(z+y*əz/əy)=0 (2)
由(1)(2)可分别解得
əz/əx=əf(x,y)/əx=(2x-3ayz)/(3axy-2z)
əz/əy=əf(x,y)/əy=(2y-3axz)/(3axy-2z)
∴dz=əf(x,y)/əx*dx+əf(x,y)/əy*dy
=[(2x-3ayz)dx+(2y-3axz)dy]/(3axy-2z)
(2).x/z=lnz/y
移项得 xy=zlnz
两边分别对x,y求导可得
y=əz/əx*lnz+z*1/z*əz/əx=(1+lnz)*əz/əx
x=əz/əy*lnz+z*1/z*əz/əy=(1+lnz)*əz/əy
∴可分别解得
əz/əx=əf(x,y)/əx=y/(1+lnz)
əz/əy=əf(x,y)/əy=x/(1+lnz)
∴dz=əf(x,y)/əx*dx+əf(x,y)/əy*dy
=(ydx+xdy)/(1+lnz)