已知函数g（x)=根号下x^2-2(x>=2)的导数为g'(x)=x/(根号下x^2-2)(x>=2).记函数f（x）=x-kg（x)(x>=2,k为常数)(1)若f（x）在区间2,+无穷）上为减函数,求k的取值范围.（2）求函数f（x）的值域

Question

已知函数g（x)=根号下x^2-2(x>=2)的导数为g'(x)=x/(根号下x^2-2)(x>=2).记函数f（x）=x-kg（x)(x>=2,k为常数)
(1)若f（x）在区间【2,+无穷）上为减函数,求k的取值范围.
（2）求函数f（x）的值域

Answer 1

f'(x)=1-kg'(x)=1-kx/√(x^2-2)=√(x^2-2)/x恒成立,而√(x^2-2)/x=√(1-2/x^2)=1即可.
f(x)在定义域上单调减,f(2)=2-√2k, x→+∞时,g(x)→x, f(x)→x-kx,当k=1时,f(x)→0, 值域为(0,2-√2k],当k>1时,f(x)→(1-k)x→-∞,值域为(-∞,2-√2k]