求两个体积(1)由z=x^2+y^2和z=x+y所围成的立体体积(2)由曲面z^2=x^2/4+y^2/9和2z=x^2/4+y^2/9围成的立体体积如果可能给我两个立体的图形我今晚来看一下,

Question

求两个体积
(1)由z=x^2+y^2和z=x+y所围成的立体体积
(2)由曲面z^2=x^2/4+y^2/9和2z=x^2/4+y^2/9围成的立体体积
如果可能给我两个立体的图形
我今晚来看一下,

Answer 1

第一题.
1.立体图形的想象：z=x^2+y^2可以想象成y=0平面上z=x^2的抛物线绕z轴旋转得到的抛物面；z=x+y则是y=0平面上直线z=x和x=0平面上直线z=y两直线确定的平面.
所以积分式应该是：
z:积分下限x^2+y^2,上限x+y.
再看x,y的取值范围,令x^2+y^2=x+y
可以看出x,y被限定在(x-1/2)^2+(y-1/2)^2=1/2这个圆柱面内.得出
y:积分下限1/2-sqrt(1/2-(x-1/2)^2),上限1/2+sqrt(1/2-(x-1/2)^2).
x:积分下限(sqrt2-1)/2,上限(sqrt2+1)/2
对dxdydz积分.
当然化做极坐标积分比较方便.自己算去.
第二题类似：
先令z^2=2z,于是z的积分范围在0到2.
对这个范围内每个变动的z=p在0到2上,都算出z=p平面上椭圆x^2/4+y^2/9=p^2和椭圆x^2/4+y^2/9=2p所夹的面积,我估算一下应该是6*pi*(2p-p^2)
把p换成z将上式在0到2积分,结果应该是8pi