设直线l：x+y+b＝0x+ay?z?3＝0在平面π上，而平面π与曲面z=x2+y2相切于点（1，-2，5），求a，b之值设直线l：x+y+b＝0x+ay?z?3＝0在平面π上，而平面π与曲面z=x2+y2相切于点（1，-2，5），求a，b之值．

Question

设直线l：x+y+b＝0x+ay?z?3＝0在平面π上，而平面π与曲面z=x2+y2相切于点（1，-2，5），求a，b之值
设直线l：

x+y+b＝0

x+ay?z?3＝0

在平面π上，而平面π与曲面z=x²+y²相切于点（1，-2，5），求a，b之值．

Answer 1

∵平面π与曲面z=x²+y²相切于点（1，-2，5）
令F（x，y，z）=x²+y²-z，则平面π的法向量

n

＝(F′x，F′y，F′z)|(1，?2，5)＝(2x，2y，?1)|(1，?2，5)＝(2，?4，?1)
∴平面π的方程为：2（x-1）-4（y+2）-（z-5）=0
即
2x-4y-z-5=0
因此过直线l：

x+y+b＝0

x+ay?z?3＝0

的平面束方程为
x+y+b+λ（x+ay-z-3）=0
即  （1+λ）x+（1+aλ）y-λz+b-3λ=0
在这些平面束中，有一个平面与平面π重合，要求
(1+λ)/(2)＝(1+aλ)/(?4)＝(?λ)/(?1)＝(b?3λ)/(?5)
这样就解得
λ=1，a=-5，b=-2