三阶矩阵的特征向量的问题,第一至三行分别是22-1,-1-11,-1-22.其特征向量怎么算?

Question

三阶矩阵的特征向量的问题,第一至三行分别是2 2 -1 ,-1 -1 1,-1 -2 2.其特征向量怎么算?

Answer 1

|A-λE|=
2-λ 2 -1
-1 -1-λ 1
-1 -2 2-λ
r1+r3
1-λ 0 1-λ
-1 -1-λ 1
-1 -2 2-λ
c3-c1
1-λ 0 0
-1 -1-λ 2
-1 -2 3-λ
= (1-λ)[-(1+λ)(3-λ)+4]
= (1-λ)(λ^2-2λ+1)
= (1-λ)(λ-1)^3.
所以A的特征值为1,1,1
A-E=
1 2 -1
-1 -2 1
-1 -2 1
r2+r1,r3+r1
1 2 -1
0 0 0
0 0 0
所以(A-E)x=0 的基础解系为 a1=(-2,1,0)^T,a2=(1,0,1)^T
所以A的属于特征值1的全部特征向量为 k1a1+k2a2,k1,k2为不全为0的任意常数.