已知函数f（x）=lnx，x>11-x3，x≤1，若函数y=f（x）-a（x-1）恰有三个零点，则实数a的取值范围是（）A.（-34，0）B.（-∞，-34）C.（-3，-34）D.（0，1）

Question

已知函数f（x）=

lnx，x>1

1-x3，x≤1

，若函数y=f（x）-a（x-1）恰有三个零点，则实数a的取值范围是（　　）

A. （-

(3)/(4)，0）

B. （-∞，-

(3)/(4)）

C. （-3，-

(3)/(4)）

D. （0，1）

Answer 1

函数f（x）=

lnx，x>1

1-x3，x≤1

的图象如图所示，

①当直线y=a（x-1）与曲线y=lnx相切于点（1，0）时，a=1，
故当a=0或a≥1时，直线y=a（x-1）与函数f（x）的图象恰有一个交点，
当0<a<1时，直线y=a（x-1）与函数f（x）的图象恰有两个交点，
②当直线y=a（x-1）与曲线y=1-x³相切时，设切点为（x₀，1-x₀³），则

a(x0-1)=1-x03

a=-3x02

，
∴-3x₀²（x₀-1）=1-x₀³，解得x₀=1，a=-3或x₀=-(1)/(2)，a=-(3)/(4)，
当-(3)/(4)<a<0时，直线y=a（x-1）与函数f（x）的图象恰有一个交点，
当a=-(3)/(4)或a≤-3时，直线y=a（x-1）与函数f（x）的图象恰有两个交点，
当-3<a<-(3)/(4)时，直线y=a（x-1）与函数f（x）的图象恰有三个交点，
故选：C．