如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，点E、F同时从点C出发，以12cm/s的速度分别沿CA、CB匀速运动，当点E到达点A时，两点同时停止运动，设运动时间为ts．过点F作BC的垂线l交AB于点D，点G与

Question

如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，点E、F同时从点C出发，以(1)/(2)cm/s的速度分别沿CA、CB匀速运动，当点E到达点 A时，两点同时停止运动，设运动时间为ts．过点F作BC的垂线l交AB于点D，点G与点E关于直线l对称．

（1）当t=

(8)/(5)

(8)/(5)

s时，点G在∠ABC的平分线上；
（2）当t=

(12)/(5)

(12)/(5)

s时，点G在AB边上；
（3）设△DFG与△DFB重合部分的面积为Scm²，求S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围．

Answer 1

（1）(8)/(5)
过点G做GH⊥BD，垂足为H，GM⊥FB，
垂足为M，点E、F同时从点C出发，所以四边形ECFL、四边形LFGM都是正方形，
∴EC=CF=FM=GM=GH=(1)/(2)t，
又∵DG也是△BDF的角平分线，
∴DL=DH，
∵DF∥AC，
∴△BDF∽△ABC
∴(BD)/(BA)＝(BF)/(CB)＝(DF)/(AC)，
∴BD＝5−(5)/(8)t，DF＝3−(3)/(8)t，
又∵DL=DH=3−(3)/(8)t−(1)/(2)t＝3−(7)/(8)t，
BH=BM=4-t，又∵BD=BH+HD，
∴5−(5)/(8)t＝3−(7)/(8)t+4−t，解得：t=(8)/(5)．


（2）(12)/(5)
点G在AB边上时，过点G作GH⊥BC，垂足为H，
∵GH∥AC，
所以△BGH∽△BAC，
∴(BH)/(BC)＝(GH)/(AC)，
即：(4−t)/(4)＝((1)/(2)t)/(3)，
解得：t=(12)/(5)．


（3）∵DF∥AC，
∴△ABC∽△DBF，
∴(DF)/(AC)＝(BF)/(BC)，
即(DF)/(3)＝(4−(1)/(2)t)/(4)，
解得DF＝(3)/(8)(8−t)
①当0＜t≤(12)/(5)时，S＝S△DFG＝S△DEF＝(1)/(2)DF•CF＝(1)/(2)×(3)/(8)(8−t)×(1)/(2)t=−(3)/(32)t2+(3)/(4)t．
②当(12)/(5)＜t≤6时，设FG交AB于点M，过点M作MH⊥BC于H，设FH=MH=a，
则BH=(4)/(3)a，
∴(1)/(2)t+a+(4)/(3)a＝4，
解得a＝(3)/(14)(8−t)，
S＝S△DFM＝(1)/(2)DF•FH＝(1)/(2)×(3)/(8)(8−t)×(3)/(14)(8−t)＝(9)/(224)(8−t)2．