（2014•崇明县二模）已知：在△ABC中，∠ABC=90°，AB=5，∠C=30°，点D是AC边上一动点（不与A、C重合），过点D分别作DE⊥AB交AB于点E，DF⊥BC交BC于点F，联结EF，设AE=x，EF=y．（1）求y关于x的函数

Question

（2014•崇明县二模）已知：在△ABC中，∠ABC=90°，AB=5，∠C=30°，点D是AC边上一动点（不与A、C重合），过点D分别作DE⊥AB交AB于点E，DF⊥BC交BC于点F，联结EF，设AE=x，EF=y．
（1）求y关于x的函数解析式，并写出定义域；
（2）以F为圆心FC为半径的⊙F交直线AC于点G，当点G为AD中点时，求x的值；
（3）如图2，联结BD将△EBD沿直线BD翻折，点E落在点E′处，直线BE′与直线AC相交于点M，当△BDM为等腰三角形时，求∠ABD的度数．

Answer 1

（1）∵DE⊥AB，DF⊥BC，∠ABC=90°，
∴∠DEB=∠DFB=∠ABC=90°，
∴四边形EBFD为矩形，
∴ED∥BF，EB∥DF
∴∠ADE=∠C=30°，
在Rt△AED中，∠ADE=30°，AE=x
∴ED=√(3)x，AD=2x，∠BAC=60°
在Rt△BEF中，BE=5-x，BF=ED=√(3)x
∴EF=√(BF2+BE2)
∴y＝√(4x2−10x+25)（0＜x＜5），
（2）在Rt△ABC中，∠C=30°，AB=5
∴AC=10，BC=5√(3)，
∴FC=BC-BF=5√(3)−√(3)x
方法1：
连接EG，FG，如图2，
在Rt△AED中，G为AD中点
∴EG=AG=AE
∴△AEG为等边三角形
∴∠AGE=60°，
∵FC=FG
∴∠FGC=∠C=30°
∴∠EGF=90°，
在Rt△EGF中，EF²=EG²+GF²
∴4x2−10x+25＝x2+(5

作业帮用户 2016-11-28

问题解析

（1）根据已知条件可证明四边形EBFD为矩形，则ED∥BF，EB∥DF，即可得出∠ADE=∠C=30°，在Rt△AED中，由∠ADE=30°，AE=x，可表示出ED=√(3)x，AD=2x，在Rt△BEF中，BE=5-x，BF=ED=√(3)x，由勾股定理得y＝√(4x2−10x+25)（0＜x＜5）即可；
（2）在Rt△ABC中，由∠C=30°，AB=5，得出AC=10，BC=5√(3)，从而得出FC=BC-BF=5√(3)−√(3)x，分三种方法：
方法1：连接EG，FG，可证明△AEG为等边三角形，则∠AGE=60°，从而得出∠EGF=90°；在Rt△EGF中，由勾股定理得EF²=EG²+GF²，从而得出x的值；
方法2：连接FG，作FH⊥GC交GC于点H，则CG=2CH，在Rt△CHF中，由AC=AG+CG=x+15-3x=10，得出x的值；
方法3：连接FG并延长交BA延长线于点P，由DF∥PB，则(DF)/(AP)＝(FG)/(GP)＝(DG)/(GA)，即BP=AB+AP=10-x，在Rt△BFP中，根据勾股定理得PF²=PB²+BF²，求得x1＝(5)/(2)，x₂=10（舍去）；
（3）由翻折可得∠ABD=∠DBE′，当△BDM是等腰三角形时，∠ABD的大小存在三种情况：
当点M落在AC边上时，①当BD=BM时，∠BDM=∠BMD，求得∠ABD=20°，②当DB=DM时，∠DBM=∠DMB，求得∠ABD=40°；
当点M在CA延长线上时，③当BD=BM时，∠BDM=∠BMD，根据∠ADB+∠M=∠DBE′，得∠ADB＝(1)/(2)∠ABD，求得∠ABD=80°．

名师点评

本题考点：

相似形综合题．

考点点评：

本题考查了相似图形的综合运用，还考查了等腰三角形的判定、矩形的判定以及勾股定理的应用，分类讨论思想的运用，是一道综合性较强的题目，难度较大．

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