如图，已知E、F分别为正方形ABCD的边AB，BC的中点，AF与DE交于点M，O为BD的中点，则下列结论：①∠AME=90°；②∠BAF=∠EDB；③∠BMO=90°；④MD=2AM=4EM；⑤AM=23MF．其中正确结论的个数是（）A

Question

如图，已知E、F分别为正方形ABCD的边AB，BC的中点，AF与DE交于点M，O为BD的中点，则下列结论：①∠AME=90°；②∠BAF=∠EDB；③∠BMO=90°；④MD=2AM=4EM；⑤AM=(2)/(3)MF．其中正确结论的个数是（　　）

A．5个
B．4个
C．3个
D．2个

Answer 1

在正方形ABCD中，AB=BC=AD，∠ABC=∠BAD=90°，
∵E、F分别为边AB，BC的中点，
∴AE=BF=(1)/(2)BC，
在△ABF和△DAE中，

AE＝BF

∠ABC＝∠BAD

AB＝AD

，
∴△ABF≌△DAE（SAS），
∴∠BAF=∠ADE，
∵∠BAF+∠DAF=∠BAD=90°，
∴∠ADE+∠DAF=∠BAD=90°，
∴∠AMD=180°-（∠ADE+∠DAF）=180°-90°=90°，
∴∠AME=180°-∠AMD=180°-90°=90°，故①正确；

∵DE是△ABD的中线，
∴∠ADE≠∠EDB，
∴∠BAF≠∠EDB，故②错误；

∵∠BAD=90°，AM⊥DE，
∴△AED∽△MAD∽△MEA，
∴(AM)/(EM)=(MD)/(AM)=(AD)/(AE)=2，
∴AM=2EM，MD=2AM，
∴MD=2AM=4EM，故④正确；

设正方形ABCD的边长为2a，则BF=a，
在Rt△ABF中，AF=√(AB2+BF2)=√((2a)2+a2)=√(5)a，
∵∠BAF=∠MAE，∠ABC=∠AME=90°，
∴△AME∽△ABF，
∴(AM)/(AB)=(AE)/(AF)，
即(AM)/(2a)=(a)/(√(5)a)，
解得AM=(2√(5))/(5)a，
∴MF=AF-AM=√(5)a-(2√(5))/(5)a=(3√(5))/(5)a，
∴AM=(2)/(3)MF，故⑤正确；

如图，过点M作MN⊥AB于N，
则(MN)/(BF)=(AN)/(AB)=(AM)/(AF)，
即(MN)/(a)=(AN)/(2a)=((2√(5))/(5)a)/(√(5)a)，
解得MN=(2)/(5)a，AN=(4)/(5)a，
∴NB=AB-AN=2a-(4)/(5)a=(6)/(5)a，
根据勾股定理，BM=√(NB2+MN2)=√(((6)/(5)a)2+((2)/(5)a)2)=(2√(10))/(5)a，
过点M作GH∥AB，过点O作OK⊥GH于K，
则OK=a-(2)/(5)a=(3)/(5)a，MK=(6)/(5)a-a=(1)/(5)a，
在Rt△MKO中，MO=√(MK2+OK2)=√(((1)/(5)a)2+((3)/(5)a)2)=(√(10))/(5)a，
根据正方形的性质，BO=2a×(√(2))/(2)=√(2)a，
∵BM²+MO²=（(2√(10))/(5)a）²+（(√(10))/(5)a）²=2a²，
BO²=（√(2)a）²=2a²，
∴BM²+MO²=BO²，
∴△BMO是直角三角形，∠BMO=90°，故③正确；
综上所述，正确的结论有①③④⑤共4个．
故选B．