已知A是n阶方阵,A的平方等于2A,求sin3A,

Question

已知A是n阶方阵,A的平方等于2A,求sin3A,

Answer 1

楼上做的什么东东?!也太想当然了吧.
（1）A^2-2A=0(此处的0为零矩阵),所以f(x)=x^2-2x是A的化零多项式.由此得到结论：
A的特征值是0或2
A的最小多项式无重根,所以A的Jondan标准型是对角阵.
设r(A)=k,即特征值2是k重根.
那么A的Jondan标准型为：
J=
2 0 0 ...0
0 2 0 ...0
0 0 2 ...0
...
0 0 0 ...0
就是左上角有一个k阶的对角阵,其他都是0.
于是A=(P^-1)*J*P,其中P为可逆阵.
（2）3A=3(P^-1)*J*P=(P^-1)*(3J)*P
所以3A的Jondan标准型是3J
（3）sin3A
=sin[(P^-1)*(3J)*P]
=P^(-1)*sin(3J)*P
其中sin(3J)由于是Jondan型矩阵的矩阵函数,所以可以直接写出：
sin(3J)=
sin6 0 0 ...0
0 sin6 0 ...0
0 0 sin6 ...0
...
0 0 0 ...0
就是左上角有一个k阶对角阵,其对角线元素为sin6.
（4）代入
sin3A
=P^(-1)*sin(3J)*P
=[(sin6)/2]*[P^(-1)*J*P]
=[(sin6)/2]*A
所以答案是：[(sin6)/2]*A