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lim（x→∞）[x^2/（x-a）（x-b）]^x
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lim（x→∞）[x^2/（x-a）（x-b）]^x
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答案和解析
lim(x-->∞) [x²/(x - a)(x - b)]^x
= lim(x-->∞) [x/(x - a) * x/(x - b)]^x
= lim(x-->∞) [1 + a/(x - a)]^x * lim(x-->∞) [1 + b/(x - b)]^x
= lim(x-->∞) [1 + a/(x - a)]^[(x - a)/a * ax/(x - a)] * lim(x-->∞) [1 + b/(x - b)]^[(x - b)/b * bx/(x - b)]
= e^lim(x-->∞) a/(1 - a/x) * e^lim(x-->∞) b/(1 - b/x)
= e^a * e^b
= e^(a + b)
= lim(x-->∞) [x/(x - a) * x/(x - b)]^x
= lim(x-->∞) [1 + a/(x - a)]^x * lim(x-->∞) [1 + b/(x - b)]^x
= lim(x-->∞) [1 + a/(x - a)]^[(x - a)/a * ax/(x - a)] * lim(x-->∞) [1 + b/(x - b)]^[(x - b)/b * bx/(x - b)]
= e^lim(x-->∞) a/(1 - a/x) * e^lim(x-->∞) b/(1 - b/x)
= e^a * e^b
= e^(a + b)
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