已知函数f（x）=log3x-1x+1，g（x）=-2ax+a+1，h（x）=f（x）+g（x）．（Ⅰ）当a=-1时，证明h（x）是奇函数；（Ⅱ）若关于x的方程f（x）=log3g（x）有两个不等实数根，求实数a的取值范围．

Question

已知函数f（x）=log₃(x-1)/(x+1)，g（x）=-2ax+a+1，h（x）=f（x）+g（x）．
（Ⅰ）当a=-1时，证明h（x）是奇函数；
（Ⅱ）若关于x的方程f（x）=log₃g（x）有两个不等实数根，求实数a的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）证明：当a=-1时，
f（x）=log₃(x-1)/(x+1)，g（x）=2x，
h（x）=log₃(x-1)/(x+1)+2x，
定义域为（-∞，-1）∪（1，+∞），
又∵h（-x）=log₃(x+1)/(x-1)-2x，
∴h（x）+h（-x）=log₃(x-1)/(x+1)+log₃(x+1)/(x-1)+2x-2x=0，
故h（x）为奇函数；
（Ⅱ）∵f（x）=log₃g（x），
∴(x-1)/(x+1)=-2ax+a+1，且x∈（-∞，-1）∪（1，+∞），
∴（1-2x）a=(x-1)/(x+1)-1=-(2)/(x+1)，
显然a≠0，
∴(1)/(a)=（x+1）（x-(1)/(2)），
利用图象可知，当(1)/(a)>1时，
方程(1)/(a)=（x+1）（x-(1)/(2)）在（-∞，-1）∪（1，+∞）内有两个不等实数根，
解得0<a<1．