若函数f(x)对任意x属于R,都有f(x)+f(1-x)=2（1）数列An=f（0）+f（1/n）+f(2/n)+...+f(n-1/n)+f(1),数列｛An｝是等差数列吗?试证明你的结论（2）求数列｛1/An*A（n+1）｝的前n项和Tn.

Question

若函数f(x)对任意x属于R,都有f(x)+f(1-x)=2
（1）数列An=f（0）+f（1/n）+f(2/n)+...+f(n-1/n)+f(1),数列｛An｝是等差数列吗?试证明你的结论
（2）求数列｛1/An*A（n+1）｝的前n项和Tn.

Answer 1

(1)由已知,
An=f(0)+ f(1/n) + f(2/n)+……+f(n-1/n)+ f(1)
An=f(1)+f(n-1/n)+f(n-2/n)…… +f(1/n) + f(0)（反过来写)
由于f(x)+f(1-x)=2,也就是说只要两自变量加起来等于1,函数值加起来就是2
把上面两个式子相加有：
2An=2+2+2+……+2+2=2(n+1)
An=n+1
A(n+1)-An=1,是等比数列
(2)Bn=1/AnA(n+1)=1/(n+1)(n+2)=1/(n+1)-1/(n+2)
Tn=B1+B2+……+Bn
=1/2-1/3+1/3-1/4+1/4-1/5+……+1/n-1/(n+1)+1/(n+1)-1/(n+2)
=1/2-1/(n+2)