已知过原点的动直线l与圆C1：x2+y2-6x+5=0相交于不同的两点A，B．（1）求圆C1的圆心坐标；（2）求线段AB的中点M的轨迹C的方程．

Question

已知过原点的动直线l与圆C₁：x²+y²-6x+5=0相交于不同的两点A，B．
（1）求圆C₁的圆心坐标；
（2）求线段AB的中点M的轨迹C的方程．

Answer 1

（1）∵圆C₁：x²+y²-6x+5=0，
整理，得其标准方程为：（x-3）²+y²=4，
∴圆C₁的圆心坐标为（3，0）；
（2）设当直线l的方程为y=kx、A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
与圆C₁，联立方程组，消去y可得：（1+k²）x²-6x+5=0，
由△=36-4（1+k²）×5>0，可得k²<(4)/(5)
由韦达定理，可得x₁+x₂=(6)/(1+k2)，
∴线段AB的中点M的轨迹C的参数方程为

x=(3)/(1+k2)

y=(3k)/(1+k2)

，其中-(2√(5))/(5)<k<(2√(5))/(5)，
∴线段AB的中点M的轨迹C的方程为：（x-(3)/(2)）²+y²=(9)/(4)，其中(5)/(3)<x≤3．