设定函数f(x)=a/3x^3+bx2+cx+d(a>0),且方程f(x)-9x=0的两个根分别为1,4

Question

设定函数f(x)=a/3x^3+bx2+cx+d(a>0),且方程f(x)-9x=0的两个根分别为1,4

Answer 1

设定函数f(x)＝a/3x3+bx3+cx+d（a>0）,f'(x)-9x=0且方程的两个跟分别是1,4,若f(x)在(-无穷大,＋无穷大)无极值点,求a的取值范围
由得f′（x）=ax2+2bx+c 因为f′（x）-9x=ax2+2bx+c-9x=0的两个根分别为1,4,所以 a+2b+c-9=0 16a+8b+c-36=0 （*） （Ⅰ）当a=3时,又由（*）式得 2b+c-6=0 8b+c+12=0 解得b=-3,c=12 又因为曲线y=f（x）过原点,所以d=0 故f（x）=x3-3x2+12x （Ⅱ）由于a＞0,所以“f(x)= a 3x3+bx2+cx+d在（-∞,+∞）内无极值点”等价于“f′（x）=ax2+2bx+c≥0在（-∞,+∞）内恒成立”． 由（*）式得2b=9-5a,c=4a． 又△=（2b）2-4ac=9（a-1）（a-9） 解 a＞0 △=9(a-1)(a-9)≤0 得a∈[1,9] 即a的取值范围[1,9]